امید نقشینه ارجمند ـ دکترای ریاضی از دانشگاه صنعتی شریف
پس مشکل کجاست؟ نخستین اشتباه در تحلیل بیان شده این است که خطی که نقاط روی آن قرار گرفتهاند از مبدا نمیگذرد و لذا شیب آن، که ثابت است، حاکی از ثابت بودن نسبت آرای آقای احمدینژاد و آقای موسوی نیست. برای اینکه نسبت آرای این 2 نامزد را در نمودار ببینید باید به شیب خطهایی نگاه کنید که مبدا را به نقاط مشخصشده متصل میکند؛ در شکل روشن است که این شیب بهآرامی در حال تغییر است و بویژه اینکه در اعلامهای آغازی نسبت آرای آقای احمدینژاد به آقای موسوی بیشتر از این نسبت در اعلام نهایی بوده است. نکته دیگر اینکه در هر مرحله از 9 مرحله موردبحث تمام آرای گذشته نیز در محاسبه دخیل است و این باعث میشود تغییرات نسبت آرا قابل ملاحظه نباشد. برای مشاهده تغییرات این نسبت در طول زمان باید این آرا را از هم جدا کرد.
یعنی در نخستین اعلام رای تعداد آرای آقای احمدینژاد 43/2 برابر تعداد آرای آقای موسوی است در حالی که در بین آرایی که در مرحله نهم اضافه شدهاند، تعداد آرای آقای احمدینژاد 71/1 برابر تعداد آرای آقای موسوی است.
نکته مهم دیگر که در این تحلیل، شاید نادانسته، نادیده گرفته شده بود این است که در این دوره وزارت کشور، برای اعلام سریعتر نتایج به مردم، با استفاده از تجمیع رایانهای، نتایج را با سبکی غیر از دورههای گذشته اعلام کرد بهنحوی که نتایج هر شعبه اخذ رای مستقیما به وزارت کشور ارسال میشد و در نتیجه در نخستین مرحله اعلام نتایج، که حدود 5 میلیون رای محاسبه شده بود، آرایی از تمام مناطق کشور و نه فقط نقاط کمجمعیت نقش داشته است و نتیجه این اتفاق این است که درصد بهدست آمده برای نامزدها در این مرحله و مشابها در مراحل بعد، تخمین بهتری از نتیجه نهایی بوده است. توجه کنید که شعبههایی که رایگیری در آنها به درازا نکشیده و شمارش آرا در آنها تا چند ساعت پس از اتمام قانونی زمان رایگیری مقدور بوده است لزوما مربوط به شهرهای کوچک و روستاها نبوده و حتی در تهران و شهرهای بزرگ دیگر نیز چنین شعبههایی به تعداد زیاد وجود داشته است.
با همه این توضیحات باز هم این سوال مطرح است که چرا این نقاط تقریبا روی یک خط قرار دارند. خوشبختانه آمار تمام صندوقها در این دوره روی اینترنت در دسترس همه قرار گرفت و میتوان برای اثبات طبیعی بودن چنین اتفاقی فرآیند اعلام نتایج را شبیهسازی کرد؛ اگر آمار صندوقها را بر حسب تعداد آرای ریختهشده در آنها به ترتیب صعودی مرتب کنیم، میتوانیم بهطور تقریبی آنچه در اعلام تدریجی آرا رخ داده است را بازسازی کنیم. من این کار را انجام دادم و شما میتوانید نتیجه را در نمودار زیر ببینید. هر نقطه متناظر با بخشی از آراست که تعداد کل آرا از کمرایترین صندوق تا آنجا برابر تعداد آرا در یکی از مراحل اعلام آرا توسط وزارت کشور است. البته با توجه به اینکه صندوقها در جریان آنچه واقعا رخ داده دقیقا به ترتیب تعداد آرای آنها اعلام نشدهاند لزومی ندارد بتوان ستون مجموع در جدول زیر را دقیقا برابر ستون مجموع در جدول قبل گرفت. به عنوان مثال در نخستین اعلام وزارت کشور مجموع آرا برابر 5015188 بوده است ولی در شبیهسازی، عدد متناظر 5015074 است.
در شبیهسازی نتایج نیز نمودار احمدینژاد- موسوی تقریبا روی یک خط قرار دارد و بهعلاوه بسیار شبیه نمودار قبل است.
این نشان میدهد که پدیده خطی بودن هر چند در نگاه اول غیرعادی به نظر میرسد ولی به دلایلی به طور طبیعی رخ میدهد. برای توجیه علمیتر این حقیقت به قضایای پیشرفتهای در علم آمار و احتمال (مانند قانون اعداد بزرگ17) نیاز است که بیان آن از حوصله خواننده این مقاله خارج است.18
گفتنی است که ریاضیدانی با نام جردن النبرگ19، در مقالهای با عنوان «گناه از راه محاسبه»20 با فرض اینکه نتایج شمارش آرا بهصورت یکنواخت از سطح کشور جمعآوری شود، واریانس نتایج اعلامشده را تخمین زده و ثابت کرده که نتایج اعلامی غیرعادی نیستند و کاملا ممکن است با این تقریب روی یک خط راست قرار گیرند. در قسمتهایی از این مقاله آمده:
«آیا نتایج انتخابات ایران بهتر از آن هستند که بتوانند واقعی باشند؟ این سوالی بود که وبلاگ تهران بیرو21، چند ساعت بعد از انتخابات روز جمعه، بعد از مشاهده روند خطی نتایج اعلامشده دولتی، مطرح کرد. در عرض چند ساعت، نمودار موردنظر در توئیترها و وبلاگهای سراسر دنیا در حال نمایش بود. وبلاگنویس وبلاگ آتلانتیک22، اندرو سولیوان23، آن را به عنوان یک گواه منحصر به فرد دانست. او نوشت: «آنها حتی سعی نکردند که تقلب را مخفی کنند. این گراف، پرچم قرمزی برای ایران و تمام دنیاست.»... پس طبیعی است که مشکوک باشید وقتی ببینید مجموع رایهای گزارشهای رسمی تقریبا بهطور دقیق از یک فرمول خطی پیروی میکنند. اما در واقع، این دقیقا همان چیزی است که ما بهخاطر نحوه گزارش دادهها انتظار داریم. هر چه بیشتر و بیشتر رایها شمرده میشود، برای نامزدهای دیگر تغییر درصدها سختتر و سختتر میشود. نیت سیلور24، متخصص آمار سیاسی، براساس یک سناریوی خیالی فرض کرد که نتایج انتخابات 2008 ریاستجمهوری ایالات متحده را به ترتیب حروف الفبا گزارش دهند و در نتیجه حاصلشده، روند خطی بسیار مستحکمی، مشابه آنچه در ایران رخ داده بود، مشاهده کرد». [18]
النبرگ در ادامه مدلی ارائه میکند و با تحلیل آماری آن مدل اثبات میکند که نتایج انتخابات ایران کاملا طبیعی است: «...به بیان دیگر، این اعداد، هر چند در نگاه اول ممکن است بسیار هماهنگ به نظر برسند، ولی در واقع دقیقا همان چیزی هستند که ما انتظار داریم. این خاصیت دادههای حجیم است که از قانونی به نام «اعداد بزرگ» تبعیت میکند: کمیتهایی که تغییرات شدید دارند معمولا میانگینی تقریبا یکسان و بدون نوسان را به وجود میآورند. با داشتن دادههای کافی، انحراف دادههای منحرف توسط یکدیگر خنثی میشوند». [18]
او در نهایت چنین میگوید: «من ادعا نمیکنم که در انتخابات دستکاری نشده است؛ جوآن کول25 و ریچارد سکتون26 دلایل بیشتری برای شک کردن به نتایج دولتی مطرح کردهاند. در سوی دیگر، کن بالن27 و پتریک دوهرتی28 میگویند نظرسنجیهای قبل از انتخابات حاکی از یک پیروزی بزرگ برای احمدینژاد بوده است. در هر صورت نظر نهایی درباره انتخابات ایران تنها با کشیدن یک گراف مشخص نمیشود. اعداد رسمی ممکن است ساختگی باشند یا نباشند اما یقینا برای واقعی بودن به اندازه کافی نامرتب هستند». [18]
دلایل جوآن کول و ریچارد سکتون که در پاراگراف بالا به آن اشاره شده است، مشابه آنهایی هستند که در مقاله میبین آمده است. نظرسنجی عنوان شده نیز همان نظرسنجی مؤسسه آمریکایی «فردای بدون ترور» است که قبلا درباره آن صحبت کردم.
2 رقم سمت راست مشت وزارت کشور را باز کرد!
بعد از آنکه وزارت کشور دادههای تمام صندوقها را اعلام کرد بستری وسیع به وجود آمد که مدعیان تقلب با پیدا کردن نظمها و بینظمیها در اعداد تقلب را برملا کنند! یکی از کشفیات، مربوط به تعداد آرای موجود در صندوقهاست. در هر کدام از حدود 46هزار صندوق موجود تا 4هزار رای ریخته شده است. اگر هیستوگرام تعداد آرا را رسم کنید با نکته جالبی مواجه میشوید.
صندوقهایی که تعداد آرا در آنها مضربی از 100 است، یعنی 100، 200، 300 و...، به شکل قابلتوجهی زیاد هستند. از این موضوع چه نتیجهای گرفته میشود؟ «عددسازی، تقلب، خیانت در امانت!» چرا؟ نخستین پاسخی که من شنیدم این بود: این وضع نشان میدهد که این اعداد ساختگی هستند و سازندگان آن ناخودآگاه بیش از حد از مضارب صد استفاده کردهاند! بعد از اینکه مطالبی درباره صدتایی بودن دستههای تعرفه مطرح شد تحلیل این اتفاق چنین تغییر کرد: «از آنجا که احتمال وقوع آرای کل مضرب صد در هر صندوق یک درصد است و از سوی دیگر تعرفهها به شکل بستههای صدتایی در اختیار صندوقها قرار میگرفته است اگر درصد صندوقهای با آرای کل مضرب صد، در هر بخش یا شهرستان بیش از یک درصد باشد شائبه ریختن تعرفههای باقیمانده در پایان اخذ رای به نام نامزد خاص را میافزاید، مثلا در بخش رومشگان از توابع کوهدشت لرستان در 49 درصد از صندوقها، آرای کل ریختهشده به داخل صندوق مضرب صد است. در شهرستان کوهدشت لرستان نسبت صندوقهای مضرب صد به کل 29 درصد، در بخش بزمان ایرانشهر 29 درصد، در بخش نرماشیر بم 29 درصد، در شهرستان سلسله لرستان 23 درصد، در شهرستان دلفان لرستان 20 درصد، در شهرستان فلاورجان اصفهان 19 درصد، در بخش مارگون بویراحمد 18 درصد و در شهرستان عنبرآباد کرمان، 14 درصد بوده است».[8]
ولی آیا ممکن نیست بهطور طبیعی چنین اتفاقی رخ داده باشد؟ طبق گفته وزارت کشور، همانطور که گفته شد، دستههای تعرفه رای صد تایی بوده است. پس اگر در یک صندوق تعدادی دسته تعرفه بهطور کامل مصرف شده باشد تعداد آرای آن صندوق مضربی از صد خواهد بود. این نشان میدهد که ستونهایی که در نمودار بالا یک سر و گردن بلندتر از مجاوران خود هستند چگونه به وجود آمدهاند. پس اینکه بگوییم احتمال مضرب صد شدن تعداد آرا در یک صندوق یک درصد است نادرست است زیرا با پایان یافتن تعرفهها این اتفاق رخ میدهد. با این توضیح آیا این وضع حاکی از این است که گروه زیادی از مردم که میخواستهاند در وقت قانونی رای دهند نتوانستهاند این کار را انجام دهند؟ ممکن است در برخی موارد چنین اتفاقی افتاده باشد ولی این تنها صورت قابل تصور نیست؛ فرض کنید در شعبهای شامل چند صندوق باشد یا چند شعبه در نزدیکی هم باشند. اواخر وقت رایگیری در یکی از صندوقها تعرفه تمام میشود ولی هنوز چند نفر در صف ایستادهاند. طبیعی و عاقلانه است که مسؤول صندوق به جای درخواست تعرفه بیشتر از وزارت کشور، از آن چند نفر بخواهد که به صندوق کناری یا شعبه نزدیک که هنوز تعرفه دارد، بروند. یا فرض کنید پس از اتمام زمان رایگیری، همانطور که قانون گفته، حاضرین را داخل محوطه شعبه رایگیری برده و درها را بستهاند. در این لحظه اگر چند نفر دیگر تقاضا کنند که در این شعبه رای دهند چه خواهد شد؟ من نمیدانم که آیا قانون پذیرفتن این درخواست را مجاز میداند یا نه، ولی با توجه به شناختی که از فرهنگ مردم دارم بسیار محتمل میدانم که مسؤولان شعبه به تعداد تعرفههایی که باقیمانده به چنین تقاضایی جواب مثبت بدهند. چنین اتفاقاتی نیز باعث خواهد شد که تعداد آرای ریختهشده در یک صندوق مضربی از صد باشد. به نظر من چنین اتفاقاتی میتواند موجب شود که نسبت صندوقهای مضرب صد در یک شهرستان بسیار بیشتر از یک درصد شود.جالب اینجاست که در مقاله میبین هم به این موضوع اشاره شده است: «توزیع تعداد تعرفههای ریختهشده در صندوقهای رای طرح عجیبی را نشان میدهد که دستکم نشان میدهد که انتخابات در سطح کشور بهصورت یکنواخت اجرا نشده است. روشن نیست که این مقادیر قرار است بیانگر چه چیزی باشند (دستکم من توضیحی برای آن ندیدهام). اگر آنها حاکی از تعداد تعرفههای موجود در هر دسته هستند میباید همه مضربی از 50 باشند: آنطور که به من گفتهاند تعرفهها در دستههای 50 تایی توزیع شده بودند».[29]
برای من عجیب است که چرا میبین درباره تعداد تعرفههای در یک دسته دچار اشتباه شده است. توجه کنید که میبین هم نتوانسته چنین مشاهدهای را صریحا به تقلب ارتباط دهد و به نظر میرسد که اگر میدانسته تعداد تعرفههای یک بسته صد تا بوده علت وجود این طرح برایش روشن بوده است. به عقیده من استدلال بیانشده تا اینجا نشان میدهد که قصه «2 رقم آخر» به هیچ عنوان شاهدی برای وجود تقلب نیست ولی میتوان بررسی را باز هم عمیقتر کرد: آیا نسبت آرای آقای احمدینژاد در صندوقهایی که تعداد آرا در آنها مضربی از صد است تفاوت معناداری با این نسبت در کل صندوقها دارد که حاکی از دستکاری این صندوقها به نفع این نامزد باشد؟ انجام این کار چندان مشکل نیست و من بعید میدانم کسانی که نمودار قبل را به دست آوردند ناتوان از انجام آن بوده باشند. پس چرا برای تکمیل دلیل خود این کار را نکردهاند؟ جواب این سوال را در جدول زیر بیابید. تعداد صندوقهایی که تعداد آرای داخل آنها مضرب صد بوده 1513 تا است. در جدول زیر منظور از «صندوقهای خاص» همین صندوقهاست که حدود 3/3 درصد صندوقها هستند و حدود 7/3 درصد آرا در این صندوقها ریخته شده است.
همانطور که میبینید درصد رای آقای احمدینژاد در کل کشور تنها نیم درصد با درصد رای ایشان در صندوقهای خاص (یعنی آنهایی که تعداد آرای ریختهشده در آنها مضرب صد است) تفاوت دارد و این اختلاف از نظر آماری معنادار نیست. اگر در هر یک از این 1513 صندوق بهطور متوسط 50 رای اضافه به نام آقای احمدینژاد ریخته شده باشد باید 75650 رای اضافه شده باشد و این تعداد بیش از 5 درصد آرای ریختهشده در صندوقهای خاص است و لذا لازم است در صندوقهای خاص رای آقای احمدینژاد 5 درصد بیشتر باشد در حالی که این اختلاف تنها نیم درصد است! نکته جالب دیگر اینکه اگر فرض کنیم در این 1513 صندوق چنین تقلبی صورت گرفته بود، 75650 رای تقلبی تنها موجب افزایش 2/0 درصدی در نتیجه نهایی میشد!
توجه کنید که حتی درصد آرای باطله هم در 2 وضع بسیار نزدیک به هم است. این شباهتها حاکی از این است که وضع پر شدن صندوقهای خاص تفاوتی با صندوقهای دیگر نداشته است. نکته آخر اینکه، همانطور که اشاره شد، نسبت صندوقهای خاص حدود 3/3 درصد کل صندوقهاست و این یعنی 3/2 درصد بیش از یک درصد سهمی که در ابتدا انتظار داشتیم. پس آنچه من ادعا میکنم این است که در چیزی حدود 3/2 درصد صندوقها به دلایلی که عنوان شد دستههای تعرفه به طور کامل ریخته شده است. جمعبندی نکات مطرحشده اینهاست:صد تایی بودن دستههای تعرفه میتواند منجر به مضرب صد شدن تعداد آرا در بسیاری از صندوقها شود. صندوقهایی که تعداد آرا در آنها مضرب صد است از نظر آماری مشابه مابقی صندوقها هستند. اضافه کردن تقلبی باقیمانده آخرین دسته تعرفه موجب افزایش 5 درصدی در صندوقهای مضرب صد میشود که به راحتی برملا میشود. اگر واقعا چنین تقلبی در صندوقهای مضرب صد انجام شده بود کمتر از 2/0 درصد برای متقلبان فایده داشت!
آرای خاموش طرفدار تغییر هستند
یکی از دلایل تقلبی دانستن نتایج انتخابات تحلیلی بر پایه افزایش تعداد رایدهندگان و به عبارت دیگر به میدان آمدن آرای خاموش است. خلاصه تعدادی از چنین نظراتی را در ادامه آوردهام: «مشارکت حدود ۸۵ درصدی مردم در انتخابات و افزایش قریب ۱۰ میلیون نفری به جامعه رایدهندگان دورههای گذشته نشان از نارضایتی عمومی از وضع موجود اداره کشور و عزم قاطبه مردم برای ایجاد تغییر در این روند از طریق مجاری قانونی دارد و لذا اینکه قریب ۶۵ درصد از رایدهندگان یعنی ۲۴ میلیون نفر از رئیسجمهور فعلی حمایت کردهاند غیرواقعی است. در این انتخابات حدود ۱0 میلیون از کسانی که پیش از این انتخابات را تحریم کرده بودند رای دادند. نتایج اعلامشده نشان میداد که احمدینژاد ۸ میلیون از رای این افراد را کسب کرده است؛ در حالی که اگر تاریخ انتخابات در ایران را بررسی کنید چنین چیزی غیرممکن است زیرا معمولا این رایدهندگان بر ضدوضع موجود و برای «تغییر» رای میدهند و چنین رایدهندگانی بر ضداحمدینژاد رای دادهاند». این استدلال چند ایراد دارد. به چه دلیل کسی که در انتخابات دوره قبل شرکت نکرده و این بار شرکت کرده برای تغییر وضع موجود آمده است؟ اینکه بگوییم تاریخ انتخابات شاهد این ادعاست قابل قبول نیست زیرا کسی از محتوای رای افرادی که در گذشته چنین وضعی داشتهاند مطلع نیست که توانسته باشد در دورهای درستی چنین گزارهای را مشاهده کرده باشد. پس به نظر میرسد این یک گمانهزنی غیرمبتنی بر دادههای تجربی است. اجازه دهید مدلی ارائه کنم که طبق آن فردی برای حفظ وضع موجود، بر خلاف دوره گذشته که رای نداده، پای صندوق رای حاضر شود؛ فردی را در نظر بگیرید که با چند بار شرکت در انتخابات به این نتیجه رسیده که رئیسجمهور از هر گروه و جناحی که باشد توجه لازم به نیازهای واقعی او نمیکند. این وضع موجب شده تا انرژیاش را صرف شرکت در انتخابات نکند و لذا در سال 1384 هم پای صندوقهای رای نرفته است. بعد از روی کار آمدن آقای احمدینژاد، سیاستهایی اجرا شده که تغییر مثبت قابلملاحظهای در زندگی او به وجود آورده است. چنین شخصی آیا ممکن نیست برای حفظ وضع موجود در انتخابات شرکت کند؟